1 2 3 4
 
  • Почему не тянет двигатель ВАЗ 2114?
    Список возможных причин
  • Почему не работает панель приборов ВАЗ 2114?
    Массовая проблема нашего автопрома
  • Подбираем размер дисков на ВАЗ 2114. Что нужно учитывать при выборе?
  • Что делать, если руль бьет на малой скорости или при торможении?

Сказка "Репка" на физико-Математический лад. Ладу математика


Математика музыки - лады - ...

Один уважаемый френд тут заметил, что система музыкальных обозначений кое в чем нелогичная, странная. Он прав по крайней мере в том, что в музыкальных школах эту систему суют по принципу "as is", грубо говоря: ешь, что дают, не объясняя, почему именно так. Кстати, в учебниках для консерваторий тоже не объясняются многие вещи, смущающие юные (и не очень) умы. :) Особенно, если эти умы имеют технический склад.

Попробую-ка я объяснить эту математику музыки для нас, технарей.

Вопрос 1: Почему нот 7, а не 12?Казалось бы, в каждой октаве пианино 12 клавиш. Так почему нот всего семь?

В музыке есть такие понятия, как звукоряд, лад, тональность. Между ними имеются тонкие различия, которые дополнительно усугубляются путаницей: разные авторы используют эти термины в разных значениях. Если курс обучения идет по определенной системе, то смысл этим терминам тоже будет придаваться разный. Я попробую описать систему, которая по-технарски строга, хотя, может быть, и не учитывает весь "широкий спектр мнений" аффторов, как это любят гуманитарии. :)

Звукоряд

Человеческое ухо слышит звуки в диапазоне примерно от 20 до 20 тысяч герц. Большинство инструментов не могут извлекать звуки любой частоты из этого диапазона. Спектр возможных частот инструмента обычно накрывает только часть этого диапазона и является дискретным. Исключения очень редки, например, скрипка. Она может выдать любую частоту в некотором диапазоне (примерно 80-2000 герц). А вот, скажем, пианино может выдать столько частот, сколько на нем клавиш, и не более того. Частоту, которая лежит в промежутке между соседними клавишами, на пианино не сыграть никак. Например, нельзя сыграть частоту между "ми" и "фа" первой октавы.

В таком случае возникает вопрос: если у нас число возможных частот ограничено, то какие из них выбрать? Надо выбрать какое-то подмножество частот на отрезке от 20 до 20 тысяч герц. Вот этот набор частот как раз и называется "звукорядом".

Звукоряд - набор частот, которые можно извлечь из этого музыкального инструмента.

В случае скрипки набор ограничивается не технически, а только волей скрипача :)

История знала несколько звукорядов, однако в западной музыке со временем сохранился только один. У него зубодробительное название: "12-ступенный равномерно темперированный строй". Я буду писать сокращенно: РТС-12.

С точки зрения физики РТС-12 очень прост. Его допустимые частоты выражаются формулой:

v = v0Qi

где v0 - некоторая константа, равная 440 герц. Соответствует частоте ноты "ля" первой октавы. Почему именно 440 Гц? Да просто нужно выбрать какое-то стандартное начало отсчета, чтобы инструменты не играли вразнобой.

i - целое число, отрицательное или положительное. Прибавление единички к нему дает следующую справа клавишу на клавиатуре пианино. Вычитание - следующую слева.

Q - константа, равная 21/12. Из-за числа 12 получается, что каждая октава разбита 12 ступенями на 12 частей. Можно взять другое число, тогда получится другой РТС-строй.

Октава - это диапазон частот от v до 2v.

Лад

В музыке однако не все ступени встречаются одинаково часто. Как правило, в течении некоторого заметного промежутка времени играются только 7 нот из 12 в каждой октаве. Остальные являются, так сказать, "запрещенными".

Это значит, что их при игре избегают.

Если их все-таки играют, то музыка в этом месте принимает эдакий "восточный" оттенок как в индийской музыке (пример: первые ноты мелодии "К Элизе" Бетховена). Если их играют, то играют тише, чем другие ноты, и сравнительно недолго.

Таким образом, из каждых 12 нот выбирается только 7, причем, одна из этих 7 назначается "главной". Главная называется "тоникой". В зависимости от выбора 7 нот и тоники получаются разные лады: гармонический, натуральный, мелодический, дорийский и т.п.

То есть, диапазон человеческого слуха - это непрерывное множество частот от 20 до 20 тысяч.Звукоряд - это дискретное конечное подмножество того множества.Лад - это подмножество звукоряда.

Лад - несколько нот звукоряда в каждой октаве, которые считаются более "допустимыми", чем остальные, среди которых выбрана главная (тоника).

В общем случае можно взять лад, который совпадает со звукорядом. В нем выбираются все 12 нот из 12 в каждой октаве. Такой лад называется "додекафоникой". Музыка, играемая в таком ладу, звучит... выберем такой мягкий эпитет... весьма экспериментально :)

Тональность

Как вы понимаете, выбрать 7 нот из 12 можно по-разному. Соответственно, получается куча разных ладов. В процессе игры бывает, что из одного лада переходят в другой. То есть, несколько секунд у нас были одни 7 разрешенных нот, а потом на несколько секунд разрешенными стали другие 7 нот.

Так вот, некоторые переходы между ладами звучат более естественно, и их сделать легче. Легче и естественнее в том смысле, что есть больше способов перейти от одного лада к другому, и это чаще делается в музыке, и слушатели к таким переходам более привычны.

Группа ладов, между которыми особенно легко делать переходы, называется тональностью. Например, это лады ля-минор натуральный, ля-минор гармонический, ля-минор мелодический. У каждой группы из 3 минорных ладов есть соседняя группа, в которую перейти чуть сложнее, но тоже довольно просто: это параллельная тональность, состоящая из 3 мажорных ладов. В данном случае до-мажор натуральный, до-мажор гармонический, до-мажор мелодический. "Простота" перехода - понятие в какой-то мере субъективное. Например, некоторым авторам кажется, что в параллельную тональность перейти не труднее, чем от натурального минора к гармоническому. Тогда они объединяют обе группы ладов в одну группу из 6 ладов, называя ее "мажороминором".

Всего тональностей 24 штуки по 3 лада или 12 по 6.

Сухой остаток

1. Ухо слышит частоты от 20 до 20 тыс. герц.2. Большинство инструментов не умеет играть все частоты, а только некоторые. Эти некоторые называют нотами, а множество всех нот - звукорядом.3. Самый распространенный в западной культуре звукоряд РТС-12 допускает частоты v = 440*2i/12.4. Октава - диапазон частот [v, 2v). В РТС-12 на каждую октаву приходится 12 нот.5. Из 12 нот выбирается 7 самых "предпочтительных", а из этих 7 одна "самая-самая" (тоника). Получается подмножество нот, которое называется ладом.6. При игре иногда происходит смена лада. Группа ладов, между которыми переходы особенно привычны для слушателя, называется тональностью. Всего таких групп 24 штуки по 3 или 12 по 6.

АнонсP.S. В следующих постингах - про то, зачем нужны 12 тональностей и нафига сдались диезы с бемолями :)

psilogic.livejournal.com

Сказки на математический лад

Сказка о планете Равно

Была, планета Равно на ней жили круги, квадраты, лучи и отрезки. Прошел по планете слух, что всем цифры будут раздавать. Начали объявлять.

- Приходите, все предметы, завтра на большую поляну получать цифры. Заволновались предметы: «Цифры! Какие цифры? Зачем Цифры?» Круг говорит: - Ну какие- никакие, а раздают, надо брать! С утра почти все предметы потянулись на поляну: кто бегом, кто скоком, - каждому предмету хотелось получить цифру. Один Луч уже собрался идти и увидел, что дождик идет. Испугался луч, - «Забьет меня дождик». Луч попросил всех, чтоб ему принесли цифру. – Ладно, - говорят они, - не забудем. На сучьях цифры развешаны, и каких там только нет: гладкие, с кренделями, завитушками. Первыми набросились выбирать себе цифры, круги, а потом все остальные. Луч сидит в домике, ждет, не дождется, когда ему принесут цифру, слышит все возвращаются. Видит круги идут – и спрашивает, Круги, вы принесли мне цифру? – нет извини мы забыли! Никто не принес ему цифру. Идет Луч на поляну и плачет, что никто не принес ему цифру. И видит, висит на сучке цифра нуль. Он подбежал к ней и так сильно обрадовался. Они подружились и стали жить вместе.

Сказка про цифры

Прежде чем мы попадем в сказочную Страну Цифирию, попросим каждую цифру представиться и сказать, на что она похожа.

1 –обломанный сучок

2 – утка

3 – ласточка

4 – стул перевернутый

5 – серп

6 – дверной замочек

7 – кочерга

8 – два бублика

9 – кот с хвостом.

Отправляемся в путешествие. Дорога выводит нас к сказочному домику. Наконец- то мы сможем там отдохнуть. И вдруг у самых дверей раздался загадочный голос: «Вы сможете зайти, если ответите, на что похожи окружающие вас предметы ».

Ну что ж, давайте попробуем. В небе парит ласточка (это цифра 3). В пруду плавает уточка (2). Пахнет сеном. У крыльца лежит серп (5). Вставляем ключ в дверной замочек (6) и открываем дверь. Вешаем курточки на сломанный крючок (1). Вкусно пахнет бубликами, да не простыми, а слепленными по два (8). У печки стоит кочерга (7). А на печке греется кот, у которого хвост свисает справа на лево (9). Поставили у стола перевернутый стул (4), поели бубликов и тронулись в обратный путь. А на уроке математики попробовали все это (все – все ) нарисовать. Нужно только, чтобы этот домик действительно был математическим.

СКАЗКА

О СТРАНЕ ЦИФИРИИ

Далеко – далеко, за морями и горами была страна Цифирия. Жили в ней очень честные числа.Только ноль отличался ленью и нечестностью.

Однажды все узнали, что далеко за пустыней появилась королева Арифметика, зовущая к себе на службу жителей Цифирии. Служить королеве захотели все.

Между Цифирией и королевством Арифметики полегла пустыня, которую пересекали четыре реки: Сложение, Умножение, Деление, Вычитание. Как добраться до арифметики? Числа решили объединиться (ведь с товарищами легче преодолевать трудности) и попробовать перейти пустыню.

Рано утром, как только солнце косыми лучами коснулось земли, числа двинулись в путь. Долго шли они под палящим солнцем и наконец добрались до реки Сложение. Числа бросились к реке, чтобы напиться, но река сказала: «Станьте по парам и сложитесь, тогда дам вам напиться».

Все исполнили приказание реки. Исполнил желание и лентяй Ноль, но число, с которым он сложился, осталось недовольно: ведь воды река давала столько, сколько единиц было в сумме, а сумма не отличалась от числа.

Солнце еще больше печет. Дошли до реки Вычитание. Она тоже потребовала за воду плату: стать парами и вычесть меньшее число из большего; у кого ответ получится меньше, тот получит больше воды. И снова число, стоявшее в паре с Нолем, оказалось в проигрыше и было расстроено.

Побрели числа дальше по знойной пустыне. Река Умножение потребовала от чисел пере множиться. Число, стоящее в паре с Нолем, вообще не получило воды. Оно еле добрело до реки Деление.

А у реки Деления никто из чисел не захотел становиться в пару с Нолем. С тех пор ни одно число не делиться на Ноль.

Правда, королева Арифметика примирила все числа с этим лентяем: она стала просто приписывать Ноль рядом с числом, которое от этого увеличивалось в десять раз.

И стали числа жить- поживать да добра наживать.

СКАЗКА ПРО НУЛЬ

Жил на свете Нуль. Вначале он был маленьким – премаленьким, как маковое зернышко. Нуль никогда не отказывался от манной каши и вырос большим – пребольшим. Цифры 1, 4, 7, худые и угловатые, завидовали Нулю. Такой он был круглый, внушительный.

А Нуль важничал и раздувался как индюк.

Поставили как- то Нуль впереди двойки, тройки и пятерки, да еще запятой отделили от них, чтобы подчеркнуть его исключительность. И что же? Величина цифр уменьшилась вдруг в десять раз! Поставили Нуль впереди других цифр – то же самое. Удивляются все. А кое - кто даже начал поговаривать, что у Нуля только внешность, а содержания никакого.

Услышал это Нуль и загрустил… Но грусть беде не помощник. Надо что – то предпринять. Нуль вытягивался, становился на цыпочки, приседал, ложился набок, а результат все тот же.

С завистью поглядывал теперь Нуль на другие цифры: хоть и неброские с виду, а каждая что – то значит. Некоторым же удавалось вырасти в квадрат или в куб, и тогда они становились важными величинами.

Попробовал и Нуль подняться в квадрат, потом в куб, но ничего не получилось.

Бродил Нуль по белу свету, несчастный, обездоленный. Однажды увидел он цифры, выстроившиеся в ряд, друг за другом и потянулся к ним: надоело одиночество. Нуль подошел незаметно, стал скромно позади всех! О чудо! Он сразу ощутил в себе силу, и все цифры приветливо посмотрели на него: ведь он удесятерил их величину.

СПОР ЦИФР

Однажды цифры поспорили с Нулем:

  • Ты хотя и число, но ровнехонько ничего не значишь! Вот ученик возьмет цифру «два» и соответственно поставит два кубика, а возьмет «нуль» и ничего не поставит.

  • Правда, правда, ни-че-го, - сказала Пятерка.

  • Ни- че- воч- ка, ни- че- воч- ка, - затараторили цифры.

  • Вы ничего не понимаете, - сказал Нуль. - Вот Единица. Я встану рядом с тобой справа. Чем ты теперь стала? Отвечай! А если я встану рядом с тобой справа, Пятерка, что ты будешь означать?

Нуль встал справа от цифры 5, и она стала пятью десятками, числом 50.

Нуль встал справа от каждой цифры и просил называть образованное число.

  • Я увеличиваю каждое число в 10 раз, а вы меня ничевочкой назвали. А как вы запишите ответ, если меня не будет, в таких примерах: 5 – 5 = …; 7 – 7=…?

Но цифры все же затеяли спор.

  • Я больше всех значу, - заявила Девятка, - ведь я не единица.

Единица засмеялась, встала слева к цифре «девять» и спросила:

Подбежала цифра «семь» и встала на место Единицы. Получилось число 79.

Так все цифры становились рядом с Девяткой, и все оказывались больше Девятки. Удивилась Девятка, смутилась.

А ведь все просто объясняется. Самое главное – это место цифр в числе. Девятка больше всех, когда цифры живут отдельно, но , когда они становятся рядом друг с другом, дело меняется. На первом месте справа пишутся единицы, на втором справа налево – десятки.

Цифры все поняли и с тех пор спорить перестали.

ПОЛЕТ НА ПЛАНЕТУ ГЕОМЕТРИЯ

Учащиеся одной из космических школ собирались в экспедицию на новую планету. Это была планета геометрических фигур, она так и называлась – Геометрия. Перед полетом учитель рассказал, что в далеком ХХ в. ребята изучали фигуры по учебнику, а теперь у них есть прекрасная возможность увидеть фигуры своими глазами и даже пообщаться с ними.

И вот полет состоялся. Класс высадился на планете Геометрия. Перед глазами ребят открылась сказочная картина: множество самых необычных фигур.

Учитель разрешил ребятам выбрать себе по вкусу фигуру и подружиться с ней. Через несколько секунд квадраты, параллепипеды, цилиндры, призмы, треугольники, многоугольники, окружности, кубы, тетраэдры, додекаэдры, икосаэдры нашли себе новых друзей. Никем не замеченные остались только скромные точки и прямая. Учитель был очень удивлен и сказал: «Молодцы, ребята, вы выбрали себе очень красивых и интересных друзей, но знайте, что без простейших геометрических фигур – точки и прямой – не существовали бы и все остальные фигуры и даже сама планета Геометрия». Ребята удивились, но не поняли свою ошибку. Ученики, конечно, не расстались со своими новыми друзьями, но точка и прямая стали общими любимцами.

СКАНДАЛ

Давным-давно в замечательной стране Геометрия жили необычные люди, а геометрические фигуры. Главой государства была Аксиома, а парламент представляли Теоремы.

Но однажды перед очередными выборами Аксиома заболела, и тогда между фигурами произошел скандал. Каждая доказывала свое значение в жизни человека. Все перестали подчиняться законам. Теоремы переругались. А в это время у людей начались неприятности. Вышли из строя все железные дороги, так как параллельные рельсы пытались пересечься. Сломались станки, так как детали в виде шара пытались доказать деталям в виде призм, что они главнее и должны начать движение первыми. Дома все перекосились, так как параллелепипед пытался стать то октаэдром, то додекаэдром.

Неизвестно, чем бы все это дело кончилось, если бы не выздоровела Аксиома. Она заставила Теоремы следовать друг за другом в логическом порядке. Созвала экстренное заседание, на котором Теоремы объяснили каждой фигуре ее значение. Для особо неугомонных были назначены беседы с самой Аксиомой. В государстве настали мир и порядок. А люди вздохнули с облегчением, потому что все предметы успокоились и стали подчиняться геометрическим порядкам.

Дроби

В некотором царстве, в некотором государстве жили-были дроби. Каждая из них, родившись на свет, спрашивала маму-дробь: «А я хорошая? Я правильная? Или неправильная?» Одна мама дробь отвечала своей дочке: «Ты очень хорошая. И правильная, потому что твой числитель меньше твоего знаменателя». И мамы неправильных дробей хвалили своих дочек, говорили, что они хорошие, и объясняли, почему они называются «неправильными».

НО всегда дроби спорили между собой, кто из них больше. «Я больше, потому что мой знаменатель больше моего числителя!» - кричала правильная дробь. «Нет, я больше, потому что мой числитель больше моего знаменателя!»- доказывала неправильная дробь. А другие дроби думали:» А как быть тогда с нами? Ведь у нас и числитель, и знаменатель одинаковые?»

И собрались однажды они на совет. Долго спорили- решали и вынесли такое решение: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, а меньше та, у которой числитель меньше.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №24»

Сказки на математический лад

Междуреченск, 2017 г

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №24»

Сказки на математический лад

Автор-составитель:

Бартенева Клавдия Витальевна, учитель математики МОУ «Гимназия №24».

В методическом пособии представлены работы учащихся, которые можно использовать при изучении некоторых тем по геометрии и математики.

Как сделать математику нескучным предметом

Уроки математики – это прежде всего теоремы, формулы, задачи,…, развитие логического мышления. Однако и эти уроки помогают придать «благородное направление» жизни так же, как уроки литературы, истории и других предметов гуманитарного цикла. Хотя мы не владеем таким арсеналом воздействия на душу, как литература, история и т. п., но кое-что есть и у нас.

Легких путей в науку нет. И овладеть математикой «легко и счастливо» не так просто. Необходимо использовать все возможности для того, чтобы ребята учились с интересом, чтобы большинство подростков испытали и осознали притягательные стороны математики, ее возможности в совершенствовании умственных способностей, в преодолении трудностей.

Большое внимание я уделяю на своих уроках игровым технологиям, как виду преобразующей творческой деятельности, в тесной связи с другими видами учебной работы.

Различные творческие задания позволяют расшевелить самого равнодушного, пассивного ученика.

С великим удовольствием ребята составляют ребусы к основным понятиям при изучении различных тем.

Ну а когда учащиеся слышат чарующее слово «сказка», то их глаза зажигаются особенным светом, они полны счастья. Это ли не активизация познавательной деятельности!

Сказки нужны в 5-6-х классах. На уроках где есть сказка, всегда царит хорошее настроение, а это залог продуктивной работы. Сказка изгоняет скуку. Благодаря сказке на уроке присутствуют юмор, фантазия, выдумка, творчество. А главное – ученики учатся математике.

multiurok.ru

Сказка "Репка" на физико-Математический лад

Сказка «Репка» на физико-математический лад

Голос за кулисами: Жил старик в одном селеньи,

Сеял зерна он сомненья.

Вдруг проклюнулось одно необычное зерно.

Дед немало потрудился,

Вырос плод - он удивился:

Старик: Репка хороша на диво –

Велика, сочна, красива!

Голос за кулисами: И была в той репке сила –

Знания она таила.

Репка: Кто сорвет заветный плод,

Много знаний обретет!

Голос за кулисами: Вот старик в один из дней

Стать решил раз в сто умней,

Подошел он к чудо-репке

И задумался вдруг крепко:

Дед: Чтобы репку потянуть,

Должен рассчитать я путь,

Траекторию движенья,

Зная силу притяженья.

Хорошо, что мне знаком

Ньютона второй закон.

(Тянет репку)

Не могу с ней совладать.

Видно надо бабку звать.

(Зовет Бабку)

Бабка: Ну, чего ты звал меня?

Тьфу, не дед, а размазня!

Чтобы вынуть чудо-репку,

Математика нужна!

Напряги свои мозги

И отношение найди,

Как соотносятся ось репки

И ось вращения Земли.

Решай, используя бином.

Все перемножишь, а потом…

Дед (подхватывает):

… Чтобы репку потянуть,

Должен рассчитать я путь,

Траекторию движенья,

Зная силу притяженья.

Хорошо, что мне знаком

Ньютона второй закон.

(Тянут репку вместе)

Дед: Ничего не получилось.

Видно, бабка, мы слабы,

Давай, за внучкою беги!

(Бабка приводит внучку).

Внучка: Привет вам, бабушка и дед,

Вы, верно, звали на обед?

(Удивленно) Нет?

Что, вытащить слабо вам репку?

(Пробует потянуть)

Да уж, в земле засела крепко!

Тут без новейших технологий и делать нечего.

Сперва создай программу,

А тогда…

Бабка: …Я знаю, чтобы вынуть репку,

Нам математика нужна!

Дед, напряги свои мозги

И отношение найди,

Как соотносятся ось репки

И ось вращения Земли.

Решай, используя бином.

Все перемножишь, а потом…

Дед (подхватывает):

… Чтобы репку потянуть,

Должен рассчитать я путь,

Траекторию движенья,

Зная силу притяженья.

Хорошо, что мне знаком

Ньютона второй закон.

(Тянут репку вместе)

Внучка: Нет, не идет никак,

Вот штучка!

Придется пригласить нам Жучку.

Жучка: Привет! Гав-гав! А вот и я!

Не стоит горевать, друзья!

Я научу, как можно сделать,

Что репка выскочит сама!

Её полить раствором нужно.

Для этого берем сперва

Трихлорэтана два ведра,

К нему ведро добавишь ты

Солянобурой кислоты.

Внучка: Тут без новейших технологий и делать нечего.

Сперва создай программу,

А тогда…

Бабка: …Я знаю, чтобы вынуть репку,

Нам математика нужна!

Дед, напряги свои мозги

И отношение найди,

Как соотносятся ось репки

И ось вращения Земли.

Решай, используя бином.

Все перемножишь, а потом…

Дед (подхватывает):

… Чтобы репку потянуть,

Должен рассчитать я путь,

Траекторию движенья,

Зная силу притяженья.

Хорошо, что мне знаком

Ньютона второй закон.

(Тянут репку вместе)

Жучка: Нет, не вышло. Не беда!

Кошку позовем сюда!

(Зовут)

Кошка: Ну, что, какие здесь проблемы?

Не можете решить дилемму?

Я знаю, репку чтоб достать,

Должны мы пробы грунта взять (берет) –

Проверить плотность (растирает почву в лапах)

И кислотность (пробует на вкус, плюет),

А дальше…

Жучка: Её полить раствором нужно.

Для этого берем сперва

Трихлорэтана два ведра,

К нему ведро добавишь ты

Солянобурой кислоты.

Внучка: Тут без новейших технологий и делать нечего.

Сперва создай программу,

А тогда…

Бабка: …Я знаю, чтобы вынуть репку,

Нам математика нужна!

Дед, напряги свои мозги

И отношение найди,

Как соотносятся ось репки

И ось вращения Земли.

Решай, используя бином.

Все перемножишь, а потом…

Дед (подхватывает):

… Чтобы репку потянуть,

Должен рассчитать я путь,

Траекторию движенья,

Зная силу притяженья.

Хорошо, что мне знаком

Ньютона второй закон.

(Тянут репку вместе)

Кошка: Давайте отдохнем немного и крикнем Мышку на подмогу!

(Зовут Мышку)

Мышка: Hallo! Привет!

Я – супер MAUS!

И, нисколько не смущаясь,

Я готов вам дам совет,

Который знает целый свет.

Чтобы вынуть чудо-репку

Стать и лучше, и умней,

Надо нам позвать на помощь

Дорогих учителей.

(Произносит на английском языке фразу:

«Дорогие учителя, помогите нам, пожалуйста!»)

Выходят «учителя», вместе с героями сказки окружают Репку (при этом все участники сценки одновременно произносят свою «ключевую» фразу).

Все вместе «вытаскивают» репку.

kopilkaurokov.ru

Как выглядит математика: реальные воплощения абстрактных формул

Художник, который превращает абстрактные математические концепции в реальные и завораживающие физические объекты.

По легенде, Пифагор первым обнаружил, что две одинаково натянутые струны издают приятный звук, если их длины соотносятся как небольшие целые числа. С тех пор людей завораживает таинственная связь красоты и математики, вполне материальной гармонии форм, колебаний, симметрии — и совершенной абстракции чисел и отношений. Эта связь эфемерна, но ощутима, недаром художники уже много лет пользуются законами геометрии и вдохновляются математическими закономерностями. Генри Сегерману трудно было отказаться от этого источника идей: в конце концов, он математик и по призванию, и по профессии. «Мысленно склеив края двух лент Мёбиуса, — говорит Генри Сегерман, — можно получить бутылку Клейна, которая также имеет одну поверхность. Здесь мы видим бутылку Клейна, полученную из лент Мёбиуса с круглым краем. Вернее, то, как она может выглядеть в трехмерном пространстве. Раз исходные «круглые» ленты Мёбиуса уходят в бесконечность, то такая бутылка Клейна будет продолжаться в бесконечность дважды и сама себя пересечет, что видно на скульптуре». Увеличенная копия этой скульптуры украшает факультет математики и статистики Мельбурнского университета.

Фракталы

«Я родился в семье ученых, и думаю, что мой интерес ко всему, что требует развитого пространственного мышления, связан именно с этим», — говорит Генри. Сегодня он — уже выпускник магистратуры Оксфордского и докторантуры Стэнфордского университетов, занимает должность младшего профессора в Университете Оклахомы. Но успешная научная карьера — лишь одна сторона его многогранной личности: еще более 12 лет назад математик начал устраивать художественные акции… в виртуальном мире Second Life. Этот трехмерный симулятор с элементами социальной сети тогда был весьма популярен, позволяя пользователям не только общаться друг с другом, но и обустраивать свои виртуальные «аватарки» и зоны для развлечений, работы и т.?д.

Сегерман пришел сюда, вооружившись формулами и числами, и обустроил свой виртуальный мир на математический лад, наполнив его невиданными фрактальными фигурами, спиралями и даже тессерактами, четырехмерными гиперкубами. «Получилась такая проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерной вселенной Second Life — которая сама по себе является проекцией трехмерного виртуального мира на двумерный, плоский экран», — замечает художник. непрерывная линия заполняет пространство куба, ни разу не прерываясь и не пересекаясь сама с собой. Кривые Гильберта представляют собой фрактальные структуры, и если увеличить масштаб, можно увидеть, что части этой кривой повторяют форму целого. «Я тысячи раз видел их на иллюстрациях и компьютерных моделях, но, когда впервые взял такую 3D-скульптуру в руки, сразу заметил, что она еще и пружинит, — говорит Сегерман. — Физические воплощения математических концепций всегда чем-нибудь да удивляют».

Однако работать с материальными скульптурами ему понравилось куда больше. «Вокруг нас постоянно циркулируют огромные объемы информации, — говорит Сегерман. — К счастью, реальный мир обладает очень большой пропускной способностью, которая в Сети пока недостижима. Дайте человеку готовую вещь, целостную форму — и он воспримет ее сразу во всей ее сложности, не дожидаясь загрузки». Так что начиная с 2009 года Сегерман создал чуть больше сотни скульптур, и каждая из них — наглядное и, насколько возможно, точное физическое воплощение абстрактных математических концепций и законов.

Многогранники

Эволюция художественных экспериментов Сегермана с 3D-печатью странным образом повторяет эволюцию математических идей. Среди его первых опытов — классические платоновы тела, набор из пяти симметричных фигур, сложенных правильными треугольниками, пятиугольниками и квадратами. За ними последовали полуправильные многогранники — 13 архимедовых тел, грани которых образованы неодинаковыми правильными многоугольниками. Созданная в 1994 году трехмерная модель. Сложенная из почти 70 000 треугольников, она служит простым и популярным тестом эффективности программных алгоритмов. Например, на кролике можно проверить эффективность сжатия данных или сглаживания поверхности для компьютерной графики. Поэтому для специалистов эта форма — все равно что фраза «Съешь еще этих мягких французских булок» для любителя поиграться с компьютерными шрифтами. Скульптура «Стэнфордский кролик» — это та же модель, поверхность которой «замощена» буквами слова «кролик» (bunny).

Уже эти простейшие формы, перекочевав с двумерных иллюстраций и идеального мира воображения в трехмерную реальность, вызывают внутреннее восхищение их лаконичной и совершенной красотой. «Связь математической красоты с красотой визуальных или звуковых произведений искусства мне кажется очень зыбкой. В конце концов, много людей остро чувствуют одну форму этой красоты, совершенно не понимая другой. Математические идеи можно транслировать в зримые или звучащие формы, но не все, и далеко не так легко, как может показаться», — добавляет Сегерман.

Вскоре за классическими фигурами последовали все более и более сложные формы, вплоть до таких, о которых вряд ли могли помыслить Архимед или Пифагор — правильных многогранников, без промежутка заполняющих гиперболическое пространство Лобачевского. Такие фигуры с невероятными названиями вроде «тетраэдральные соты порядка 6» или «шестиугольные мозаичные соты» невозможно представить в воображении, не имея под рукой наглядной картинки. Или — одной из скульптур Сегермана, которые представляют их в привычном нам трехмерном евклидовом пространстве. сложенные правильными треугольниками тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, а также состоящий из квадратов куб и икосаэдр на основе пятиугольников. Сам Платон связывал их с четырьмя стихиями: «гладкие» октаэдрические частицы, по его представлениям, складывали воздух, «текучие» икосаэдры — воду, «плотные» кубы — землю, а острые и «колючие» третраэдры — огонь. Пятый элемент, додекаэдр, философ считал частицей мира идей.

Работа художника начинается с 3D-модели, которую он выстраивает в профессиональном пакете Rhinoceros. По большому счету, этим она и заканчивается: само производство скульптур, распечатку модели на 3D-принтере, Генри просто заказывает через Shapeways, большое онлайн-сообщество энтузиастов трехмерной печати, и получает готовый объект из пластика или металломатричного композита на основе стали и бронзы. «Это очень легко, — говорит он. — Просто загружаешь модель на сайт, нажимаешь кнопку «Добавить в корзину», оформляешь заказ — и через пару недель тебе доставляют его почтой». Представьте, что вы завязали узел внутри твердого тела, а потом удалили его; оставшаяся полость называется дополнением узла. На этой модели показано дополнение одного из самых простых узлов, восьмерки.

Красота

В конечном итоге эволюция математических скульптур Сегермана заводит нас в сложную и завораживающую область топологии. Этот раздел математики изучает свойства и деформации плоских поверхностей и пространств разной размерности, и для него важны их более широкие характеристики, чем для классической геометрии. Куб здесь можно легко, как пластилин, превратить в шар, а чашку с ручкой скатать в бублик, не нарушив в них ничего важного — известный пример, который нашел воплощение в изящной «Топологической шутке» Сегермана. подобно тому как квадрат можно получить смещением отрезка перпендикулярно ему на равное его длине расстояние, куб можно получить аналогичным копированием квадрата в трех измерениях, а сдвинув куб в четвертом, мы «нарисуем» тессеракт, или гиперкуб. У него будет 16 вершин и 24 грани, проекции которых на наше трехмерное пространство выглядят мало похожими на обычный трехмерный куб.

«В математике очень важно эстетическое чувство, математики любят «красивые» теоремы, — рассуждает художник. — Трудно определить, в чем именно состоит эта красота, как, впрочем, и в других случаях. Но я бы сказал, что красота теоремы — в простоте, которая позволяет что-то понять, увидеть какие-то простые связи, прежде казавшиеся невероятно сложными. В основе математической красоты может лежать чистый, эффективный минимализм — и удивленный возглас: «Ага!»». Глубокая красота математики может пугать, как ледяная вечность дворца Снежной королевы. Однако вся эта холодная гармония неизменно отражает внутреннюю упорядоченность и закономерность той Вселенной, в которой мы живем. Математика — лишь язык, который безошибочно соответствует этому изящному и сложному миру. Парадоксально, но в нем находятся физические соответствия и приложения для почти любого высказывания на языке математических формул и отношений. Даже самым абстрактным и «искусственным» построениям рано или поздно находится приложение в реальном мире. с определенной точки зрения поверхности кружки и бублика «одинаковы», точнее говоря — гомеоморфны, поскольку способны переходить одна в другую без разрывов и склеек, за счет постепенной деформации.

Евклидова геометрия стала отражением классического стационарного мира, дифференциальное исчисление пригодилось ньютоновской физике. Невероятная риманова метрика, как оказалось, необходима для описания нестабильной Вселенной Эйнштейна, а многомерные гиперболические пространства нашли применение в теории струн. В этом странном соответствии абстрактных выкладок и чисел основаниям нашей реальности, возможно, и кроется секрет той красоты, которую мы обязательно чувствуем за всеми холодными расчетами математиков.

Статья «Генри Сегерман и его математические этюды» опубликована в журнале «Популярная механика» (№6, Июнь 2016).

www.popmech.ru

Олимпийские игры на математический лад

Внеклассное мероприятие «Олимпийские игры на математический лад»

Цели мероприятия:

развитие познавательных и творческих способностей, логического мышления, интуиции, внимания у учащихся;

привитие интереса к математике и к спорту;

формирование навыков общения, умения работать в коллективе.

Ход мероприятия:

Здравствуйте, дорогие ребята и гости нашего праздника! Не так давно в нашей стране, в городе Сочи, прошли зимние Олимпийские игры. Думаю, что многие из вас хотели побывать там, чтобы поболеть за наших спортсменов. А сегодня вам предстоит поучаствовать в Олимпиаде, но не спортивной, а в математической.

(старшеклассники готовят историческую справку об истории Олимпийских игр)

Кто помнит талисманов сочинской олимпиады? (Леопард, Зайка и белый Мишка – на слайде). Выберем и мы талисманов для наших команд. (капитаны команд получают конверты с талисманами Чебурашкой и Дельфиненком, это и будут названия команд))

Но не забудем про девиз игр. Если девизом Олимпийских игр стали слова «Сильнее, выше, быстрее», то для наших Математических игр мы выберем следующие – «Решай, смекай, угадывай!»

(На слайде появляется зажженный факел) Олимпийский огонь зажжен, поэтому Математические игры можно считать открытыми!

Но прежде чем приступить к соревнованиям, я представлю вам судей. (представление жюри)

По традиции, чтобы начать соревнования, спортсменам положена разминка.

Давайте и мы проверим вашу математическую смекалку. По правилам соревнований все задачи будут на скорость выполнения. То есть команда, которая готова ответить поднимает свой талисман, судья соревнований даёт право на ответ. Не надо выкрикивать, надо стараться всё выполнять быстро и внимательно, тогда победа непременно будет за вами. Начинаем разминку. (задачи из задачника Г. Остера)

1. Младенец Кузя орет, как резаный, 5 часов в сутки и спит, как убитый, 16 часов в сутки. Остальное время младенец Кузя радуется жизни всеми доступными ему способами. Сколько часов в сутки младенец Кузя радуется жизни? (3 часа)

2. Если младенца Кузю взвесить вместе с бабушкой, получится 59 кг. Если взвесить бабушку без Кузи, получится 54 кг. Сколько весит Кузя без бабушки? (5 кг)

3. У младенца Кузи - еще только 4 зуба, а у его бабушки уже только 3. Сколько всего зубов у бабушки и ее внука? (7 зубов)

4. Когда младенца Кузю поцарапала кошка, он орал 5 минут, когда его укусила оса, он орал на 3 минуты больше, но, когда собсвенная мать набросилась на него и начала мыть с мылом, Кузя орал в два раза дольше, чем после укуса осы. Мама мыла Кузю 9 минут. Сколько минут орал уже вымытый Кузя? (7 минут)

5. 10 пиратов разделили между собой поровну 129 пленниц, а остаток - посадили в лодку и отправили домой к родителям. Сколько пленниц поплыло к родителям? (9 пленниц)

6. У четырнадцати лучших друзей капитана Флинта после разных пиратских подвигов осталось по одной ноге, а у самого капитана целых две. Сколько всего ног, без деревянных, можно насчитать под столом, когда все пятнадцать друзей садятся завтракать? (16 ног)

7. 40 бабушек ехали в одном лифте и застряли между этажами. Половина бабушек стала молча готовится к самому худшему. 18 бабушек из другой половины спокойно стояли и надеялись на скорое спасение. Остальные бабушки оказались нервными, начали нажимать на все кнопки подряд и кричать: "Помогите!". Сколько нервных бабушек застряло между этажами? (2 бабушки)

8. 40 бабушек вошли в автобус. Пятая часть бабушек купила билеты, а остальные закричали, что у них проездной. На самом деле проездной был только у семи бабушек. Сколько бабушек поехали "зайцами"? (28 бабушек)

9. Однажды 40 бабушек ловили трех поросят. Одного поросенка схватили 3 бабушки, второго схватили в 2 раза больше бабушек. Остальные поймали третьего. Сколько бабушек вцепились в третьего поросенка? (31 бабушка)

10. Площадь квадратной лужи, в которую упал Петр Петрович,- 4 м2. Длина одной стороны этой лужи равна росту Петра Петровича в шляпе. Шляпа увеличивает рост Петра Петровича на 16 см. Узнай рост Петра Петровича без шляпы. (1м 84см)

Разминка окончена и чувствуется, что команды готовы к бою.

Сегодня мы проведём соревнования по нескольким видам спорта: летним и зимним.

Объявляю порядок проведения игры

  1. Математическая эстафета

  2. Марафонский бег.

  3. Вольная борьба.

  4. биатлон.

  5. Бокс. (конкурс капитанов)

  6. Фигурное катание.

  7. Футбол.

  1. Математическая эстафета.

Обе команды получают пример, первый расставляет порядок действий, остальные по очереди решают по одному действию.

2006+ (859+1085):243

  1. Марафонский бег.

Во время этого этапа команды разгадывают кроссворд.

Математический кроссворд

По горизонтали:

2. Единица с шестью нулями.

4. Единица площади, равная 10000 м2.

6. Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку на ней.

10. Суммы длин всех сторон многоугольника.

11. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

12. Знак, используемый для записи числа.

14. Закон сложения: а + в = в + а.

По вертикали:

1. Фигуры, совпадающие при наложении.

3. Закон умножения (а + в) с = ас + вс.

5. Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

7. Название отрезков, из которых состоит треугольник.

8. Единица масс, равная 1000 кг.

9. Равенство, содержащее неизвестное.

13. Третий разряд любого класса.

Ответы:

По горизонтали:

2. Миллион. 4. Гектар. 6. Радиус. 10. Периметр. 11. Правильная. 12. Цифра. 14. Переместительный.

По вертикали:

1. Равные. 3. Распределительный. 5. Куб. 7. Стороны. 8. Тонна. 9. Уравнение. 13. Сотни.

  1. Вольная борьба.

Из команды вызывается по одному человеку. На их спинах прикреплены цифры, руки сцеплены за спиной друг с другом. Нужно попытаться , не расцепляя рук, подсмотреть и назвать цифру «противника».

  1. Биатлон.

Кто знает, что это за вид спорта? (лыжные гонки со стрельбой) Сейчас вам предстоит бежать на лыжах, отвечая на вопросы, и «стрелять» по мишеням, решая задачи.

Вопросы к лыжным гонкам.

1. Как называется сумма длин всех сторон многоугольника? (периметр)

2. Из скольких судей состояло жюри на Олимпийских играх у древних греков? (девять)

3. Загадка. Проживают в трудной книжке хитроумные братишки. Десять их, но братья эти сосчитают всё на свете. (цифры)

4. Какой частью речи являются числа? (числительные)

5. Назовите антоним термина «сложение». (вычитание)

6. Сколько человек тянуло репку? (трое)

7. Какая буква стоит на последнем месте латинского алфавита? (зет)

8. Замените 100 % числом (единица)

9. Сколько вершин у прямоугольного параллелепипеда? (восемь)

10. Каким титулом великий математик Карл Фридрих Гаусс назвал математику? (царица)

Задачи к биатлону

1. Сколько мостов соединяют 40 островов, если известно, что каждый остров соединяется с остальными островами ровно тремя мостами?

1) 60 2) 80 3) 120 4) 90

2. Лиса Алиса съедает банку варенья за 10 минут, заяц Стёпка – за 5 минут, а Мишка – за 2 минуты. Сколько минут потребуется сказочным героям, чтобы съесть банку варенья вместе?

1) 6 мин 2) 0,8 мин 3) 5 мин 4) 1,25 мин

3. Некоторое число увеличили в 2,5 раза, из полученного произведения вычли половину исходного числа, после чего получилось число, на 1,99 больше исходного. Найдите исходное число:

1)2; 2)7,96; 3)1,4; 4) 1,99.

4. Сторону квадрата уменьшили на 20 %. На сколько процентов уменьшилась его площадь?

1)20; 2)36; 3)10; 4)40.

5. Для того чтобы получить сплав меди и олова, содержащий 25 % меди, нужно к 15 кг сплава меди и олова, содержащего 40 % меди, добавить чистое олово массой:

1)12 кг; 2)9 кг; 3)8 кг, 4)10 кг.

6. Улитка взбиралась на ветку длиной 1 метр. За день она поднималась по ветке на 40 сантиметров, ночью сползала вниз на 20 см. На какой день улитка достигнет конца ветки.

1) 5 2) 4 3) 7 4) 6

7. В нашем саду больше 90, но меньше 100 деревьев. Третья часть из них груши, четверть—гранаты, а остальные - черешня. Сколько черешневых деревьев в саду?

1) 30 2) 50 3) 20 4) 40

8. Из 38 учащихся 28 посещают танцы и 17 фигурное катание. Сколько фигуристов посещает танцы, если в классе нет учащихся , которые не посещают танцы или фигурное катание?

1) 10 человек 2) 5 человек 3) 7 человек 4) 9 человек

9. Бутылка с вишневым сиропом весит 500 граммов. Та же бутылка с уксусом весит 350 граммов. Уксус легче сиропа в 2 раза. Сколько весит пустая банка?

1) 200 граммов 2) 300 граммов 3) 100 граммов 4) 250 граммов

10. Бабушка положила на стол апельсины и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Валя, взяла треть апельсинов и ушла. Потом вернулся из школы Дима, взял треть оставшихся апельсинов и ушел. Затем пришел Олег и взял 4 апельсина — треть от числа апельсинов, которые он увидел. Сколько апельсинов оставила Бабушка?

1) 27 апельсинов 2) 30 апельсинов 3) 37 апельсинов 4) 47 апельсинов

  1. Бокс. (конкурс капитанов)

В боксерском поединке капитанов 3 раунда.

1 раунд:

Начертите на доске «на глаз» отрезок, равный 53 см. Кто точнее?

2 раунд:

В пруду растет 1 лист лилии. К вечеру каждого дня число листьев удваивается. На какой день пруд будет покрыт листьями наполовину, если полностью он будет покрыт ими через 100 дней? (на 99 день)

3 раунд:

Антифразы.

Пример: Безделье любителя пугает. – Дело мастера боится.

Умножать на 1 можно.

Периметр треугольника не равен кубу чужого угла.

Кривая дуга больше свернутой.

Неправильное целое больше 0.

Перпендикулярные отрезки скрещиваются.

  1. Фигурное катание.

Командам нужно с помощью пантомимы изобразить математические понятия, команде-сопернице нужно отгадать это понятие.

  1. Футбол.

Следующие соревнования, пожалуй, самые популярные и любимые в России. Ну, конечно же, это футбол!

Команды решают задачи про футбол.

№1.Команда провела 3 матча. Один выиграла, второй свела в ничью, третий проиграла. За все матчи команда забила 3 гола и пропустила 1. С каким счетом закончился каждый матч? (первый - победа 3:0, второй – ничья 0:0, третий – поражение 0:1)

№2. На сколько дольше длится игра в футбол, чем в хоккей? (на 30 мин)

№3. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Одного игрока удалили с поля и средний возраст стал 21 год. Сколько лет было удаленному игроку? (32 года)

Ну что ж, наши математические игры подходят к концу, и настала пора подвести итоги ваших достижений в командном зачёте. Судейская коллегия подвела итоги всех соревнований. (После подведения итогов традиционно команды награждаются олимпийскими медалями.)

Вот теперь, когда награды нашли своих героев, по традиции завершения Игр нам надо погасить олимпийский огонь. (Олимпийский огонь погас.)

Математические игры закончены, но мы надеемся, что они останутся в вашей памяти. До новых встреч!!!

kopilkaurokov.ru

Музыка математична, а математика музыкальна

Введение1.Общие сведения2.Табулатура3.Симметрия в музыке.4.Пифагорейское учение.5.Исследования психологов.Заключение

Введение                                                           "Раздумывая об искусстве и науке, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, а между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства"                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Г. Нейгауз

Прежде чем доказать «теорему» о прямой связи математики и музыки, я расскажу немного о себе. С четырёх лет я играю на скрипке, она мне помогла развить зрительную память и логическое мышление, т.е. помогла мне в области математики. 4 года назад я окончила музыкальную школу, и скрипку в руки практически не брала. Однажды меня попросили сыграть на одном концерте. Непосредственно перед репетицией, на уроке математики, я прорешала много простых задач, после чего заметила, что скорость беглости пальцев ко мне вернулась, будто бы я занималась каждый день. Так уже на протяжении четырёх лет я играю на скрипке только благодаря математике. Я убедилась на собственном опыте, что математика и музыка мало того, что тесно связаны друг с другом, но ещё и помогают друг другу.

1.Общие сведения.

Повсюду вокруг нас господствует идея числа и отношения. Нет такой области музыки, где числа не выступали бы конечным способом описания происходящего: в ладах есть определенное число ступеней; ритм делит время на единицы и устанавливает между ними числовые связи и пр. В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же, как в музыке. Занимаясь музыкой, человек занимается математикой. Хороший математик - это всегда хороший музыкант, потому что логика чисел, с которой постоянно общаются математики, связана с логикой развития музыкальных фраз.Композиторы часто признаются, что их метод немногим отличается от математического… О том же пишет выдающийся дирижер Эрнест Ансерме: «Между музыкой и математикой существует безусловный параллелизм. И та и другая представляют собой действие в воображении, освобождающее нас от случайностей практической жизни». Он подчеркнул абстрактный, не имеющий прямых и реальных аналогов характер музыкальной и математической материи, ее обобщенность.Многие выдающиеся музыканты блистали математической одаренностью: только что упомянутый Эрнест Ансерме  –  профессиональный математик и лучший исполнитель Стравинского, Леонид Сабанеев – выпускник математического факультета Московского университета, прекрасный пианист, композитор. Композитор Эдисон Денисов преподавал математику в Томском университете. Выдающийся виолончелист Карл Давыдов закончил физико-математический факультет, и, как вспоминают современники, имел «блистательные способности к чистой и прикладной математике». Но говоря о связи музыки и математики, нельзя забывать о такой науке, как табулатура.

2.Табулатура.

Табулатура - это один из самых старых способов записи, в которых вместо нот используют изображения расположений пальцев на инструменте. Она появилась приблизительно с 1500 года  и впервые использовалась для лютни и инструментов лютневого семейства.Такое представление нот и по сей день популярно. Недостаток табулатур в том, что они не показывают с какой длительностью играть ту или иную ноту.Существует несколько типов табулатур: органная, клавишная, старонемецкая, новонемецкая, лютневая и гитарная. Табулатура очень удобна и ею может пользоваться любой человек, даже не знающий музыкальной грамоты.

3.Симметрия в музыке.

Как я уже сказала ранее,  при написании музыки некоторые композиторы в определённых направлениях используют математику, всё рассчитывают. Например, Стравинский, который, когда писал произведения, всё рассчитывал до мелочей. Композиторы производят и используют математические расчёты  для того, чтобы музыка получилась мелодичной и симметричной. Что это значит? Возьмём, к примеру, трёхчастную форму написания ( 1-2-3) Трёхчастная форма - музыкальная форма, состоящая из трёх разделов: крайние(1-й и 3-й) совершенно одинаковы или сходны (3-й раздел трёхчастной формы называется репризой, т.е. повтором), средний отличается от них и часто бывает резко контрастным. Это позволяет сделать музыкальное произведение красивым, гармоничным и мелодичным.

4. Открытие Пифагора в области теории музыки.

Суть это открытия состоит в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд - полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент. Именно здесь мы сталкиваемся с математической операцией сравнения.С понятием последовательность в математике мы встречаемся крайне часто. Обычно цель при встрече с ней – отгадать следующее число или символ. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности.Также, математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам.

5. Исследования психологов.

В грандиозном исследовании 25000 американских школьников, занимающихся по арт-программам, было особо отмечено, что дети, учившиеся музыке, с большей вероятностью показывали в математических тестах высшие баллы, чем дети, музыке не обучавшиеся. Для детей из так называемых «неблагополучных семей» прогресс в математических тестах был особенно заметен: среди занимающихся музыкой восьмиклассников 21% имели высокие математические баллы по сравнению с 11% не занимающихся — музыкальные дети оказались в математическом отношении на 10% лучше немузыкальных. В десятом классе разрыв увеличился: уже 33% неблагополучных детей, занимающихся музыкой, показали высокие математические результаты, а среди не занимающихся музыкой детей из таких же семей хороших математиков было только 16% – через два года занятий разрыв составил 17%.Выдающийся исследователь таланта и одаренности Стэнли Стейнберг из Йельского университета опубликовал аналогичные результаты: ученики восьмого класса, которые занимались игрой на музыкальных инструментах, показали себя гораздо лучшими математиками чем остальные ученики. Особенно отличились пианисты, которые выиграли по тестовым баллам конкурс по математике.Совпадение музыкальной и математической одаренности сделало эту тему предметом внимания психологов. Им хотелось понять психологические механизмы, стоящие у истоков музыкально-математической близости. Первым возникло предположение о совпадении слуховых данных музыкантов и математиков: музыкальный слух в значительной степени аналитичен, и он мог быть одной из причин музыкальности математиков и математических способностей музыкантов. Опыты психологов опровергли эту версию, работая со ста испытуемыми с хорошим слухом, которые не показали никакого превосходства над другими испытуемыми по части абстрактного мышления и математических способностей. Музыкальный слух сам по себе не был компонентом математического мышления. Сущность психологических связей между музыкальными и математическими способностями стала яснее, когда ученые обратили внимание на повышенно абстрактный характер восприятия музыкантов. Российский психолог Е.Артемьева работала с разными группами студентов, которые описывали видимый мир с помощью разнообразных категорий. Автор пишет: «Особенно отличается от других группа студентов музыкального училища. Здесь, в отличие от остальных, количество геометрических и предметных признаков превосходит количество непосредственно-чувственных и оценочно-эмоциональных признаков». Привыкнув замечать пропорционально-симметричные квазипространственные отношения внутри музыкальной формы, привыкнув охватывать в своем сознании разнообразные иерархически соподчиненные структуры, не имеющие явных предметных аналогов, музыканты переносят навыки пространственно-геометрического восприятия на реальную действительность. Выводы российского психолога совпали с мнением американских коллег. Они экспериментировали со студентами-музыкантами и студентами-биологами, которые слушали музыку. После этого у музыкальной и биологической групп замерили уровень кортизола в крови, возрастание которого говорит о том, что слушатели заняты абстрактными размышлениями, а уменьшение — о большей чувственной конкретности и эмоциональности восприятия. У студентов-музыкантов уровень кортизола повысился, а у биологов понизился. Из этого экспериментаторы сделали вывод о чрезвычайно абстрагированном восприятии музыкантов.

Огромный эксперимент по выявлению зон ответственности отделов мозга за те или иные музыкальные функции предприняла международная группа из восьми психологов под руководством Эрве Плателя. Испытуемыми были шесть французов, молодых мужчин-немузыкантов, слушающих музыку и музыкальные элементы — небольшие мелодии, ритмические фигуры и звуковые последовательности. Музыкальное восприятие на нейропсихологическом уровне оказалось весьма аналитичным: обработкой музыкальной информации занимались отделы мозга, традиционно отвечающие за логические операции. Этот эксперимент произвел большое впечатление на психологическое сообщество; его результаты были опубликованы в престижном журнале «Мозг» в феврале 1997 года.В середине восьмидесятых годов крупные немецкие специалисты в нейропсихологии музыки Марианна Хасслер и Нильс Бирбаумер зарегистрировали весьма необычный результат у мальчиков-музыкантов по сравнению с мальчиками-немузыкантами подросткового и юношеского возраста. У испытуемых-музыкантов традиционно принадлежащие правому полушарию пространственные операции были несколько смещены в левое полушарие, вероятно, из-за особого аналитического «крена». Немузыканты и девочки-музыканты воспринимали пространственные процессы правополушарно. Эти различия можно трактовать как подтверждение особой природы пространственных представлений у музыкантов-мужчин: не теряя связь с образным правым полушарием, их пространственные представления приобретают некоторую аналитичность за счет смещения в левое полушарие. Не является ли это особым признаком музыкального таланта: подавляющее большинство выдающихся композиторов — мужчины, в то время как большинство профессиональных музыкантов — женщины: может быть, распространенность композиторского таланта у мужчин связана со спецификой их пространственного мышления… В исследовании 1992 года, в котором участвовали 117 взрослых музыкантов и 120 музыкантов-подростков, Марианна Хасслер отметила общее превосходство музыкантов по сравнению с немузыкантами в качестве пространственного мышления: пространственные тесты музыканты выполняли значительно лучше. Эти выводы были сделаны на основании восьмилетнего наблюдения над всеми испытуемыми.Данные современной нейропсихологии подчеркивают повышенную аналитичность восприятия и высокое качество пространственных операций «музыкального мозга». Это объясняет частое совпадение музыкальной и математической одаренности у одних и тех же людей. Когда Мария Мантуржевска в одном из своих исследований сравнила математические успехи лучших и худших студентов-музыкантов, то результаты первых были многократно выше результатов вторых: самые одаренные музыканты оказались и самыми одаренными математиками.Еще одним практическим доказательством близости музыкальных и математических склонностей является любопытный факт, который сообщает П.Вернон в диссертации на звание доктора философии Кембриджского университета: в 1927-28 году 60% профессоров-физиков и математиков Оксфордского университета были одновременно членами университетского музыкального клуба, и только 15% всех остальных профессоров посещали тот же самый клуб. Одаренным математикам музыка была нужна гораздо больше, чем всем остальным вместе взятым…Наблюдения, взятые из опыта, наука полностью подтверждает: музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности, значение которых в наш прагматический век оспаривать невозможно.

Заключение.

Итак, исходя из этих примеров, мы можем смело сделать вывод, что математика и музыка – два полюса человеческой культуры, два школьных предмета, две системы мышления, тесно связанные между собой: музыка делает человека более уверенным и эмоциональным,  обогащает умственно, способствует  духовному развитию, а математика в свою очередь - это инструмент познания, воплощающий порядок и логику. А закончить данное исследование я хочу словами великого математика Лейбница: «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая».

                                                                                                                                                                                                                                                    Морозова Софья, 10 "В"

lionzage.livejournal.com

Все для учителя. — Математические сказки. — — —

Дети любят переделывать с детства знакомые сказки на математический лад

Объединилось множество дробных чисел с множеством целых, и стали они называться рациональными, что означает «разумные». А флажок на крыше снова поменяли. Теперь там красовалась буква Q.

 

Теремок. Сказка о числовых множествах.

В поле чисел теремок. Теремок!

Он не низок, не высок. Не высок!

Он не узок, не широк. Не широк!

Он не близок, не далёк. Не далёк!

 

Он просторный — благодать.

Готов множество принять.

Поселить да обласкать,

Родным домом числам стать…

 

Скиталось по Стране Математики множество натуральных чисел — таких, которые при счёте предметов применяются, а точнее — целых и положительных. Не знало множество, где ему обосноваться, где поселиться и за дело приняться. Долго ли коротко ли скиталось, вдруг видит — теремок стоит. Терем ладный, аккуратный, и на вид, и на ощупь приятный. Постучалось множество натуральных чисел в дверцу резную, да и спрашивает:

— Кто, кто в теремочке живёт? Кто, кто в арифметическом живёт?

А в ответ — тишина. Пуст теремок. Жильцов в нём нет. Решило множество натуральных чисел, что будет само в тереме жить. Зашло. Обосновалось. Навело порядок. А на крышу флажок повесило с буквой N. Эта буква была именным гербом нашего множества.

 

Живёт множество, поживает, чётные числа от нечётных перебирает. Как вдруг — стук в двери раздаётся, а следом и вопрос задаётся:

— Кто, кто в теремочке живёт? Кто, кто в арифметическом живёт?

— Это я — множество натуральных чисел. А ты кто?

— Я — множество целых отрицательных чисел, да со мною ещё ноль. По дороге прибился. Наверное, в пути заблудился. Пусти нас в теремок. Будем вместе жить, вычисления вершить.

Подумало, подумало множество натуральных чисел — да и согласилось. Одному-то хорошо, а вместе — веселее. Пригласило оно гостя в дом, а гость и говорит:

  Раз мы с тобою теперь вместе жить будем, то надо нам общее название придумать и новый герб подобрать.

И решили они называться впредь множеством целых чисел. И выбрали для своего флажка букву Z. Живут не тужат, а очень даже дружат. Все натуральные числа нашли себе пару противоположных среди отрицательных. Правила новые для сложения-вычитания установили, уже об умножении подумывают, как вдруг — снова стук в двери:

— Кто, кто в теремочке живёт? Кто, кто в арифметическом живёт?

— Это я — множество целых чисел. А ты кто?

— А я — множество чисел дробных. Скиталось я долго по полям и пространствам — устало, дорогу видеть перестало. Пусти меня к себе жить.

— Ладно, заходи! В теремке ещё много места осталось.

Объединилось множество дробных чисел с множеством целых, и стали они называться рациональными, что означает «разумные». А флажок на крыше снова поменяли. Теперь там красовалась буква Q.

Живут не плачут, не рыдают, а математику дальше развивают. Дроби поделили на правильные и неправильные. Для каждого числа нашли взаимно обратное. Только ноль особняком остался и искать себе пару отказался.

Много дел переделали, много примеров перерешали. А на резном крылечке снова шаги раздаются, и чьи-то кулачки по двери бьются:

— Кто, кто в теремочке живёт? Кто, кто в арифметическом живёт?

— Я — множество рациональных чисел. А ты кто таков будешь?

— А я — множество чисел иррациональных. Со мною дроби бесконечные непериодические— разуму человеческому непонятные, и оттого удивительные. Бродило я долго по свету. Нигде мне пристанища нету. Пифагорейцы меня скрывали, потом много веков не признавали. Люди меня боятся, все меня сторонятся.

Разреши мне с тобою жить. Я тоже математике могу послужить. Ведь в окружности, как ни крутись, без иррационального числа «пи» не обойтись. И диагональ квадрата, если кто не знает, иррациональное число выражает.

— Что с тобою поделаешь. Оставайся. Место ещё в теремке имеется.

Зашло множество иррациональных чисел в теремок и заполнило его окончательно. Собрались все числа на большой совет, и стали судить да рядить, как им теперь называться и буквою какой украшаться.

Поступило два предложения от чисел уважаемых, без сомнения. Одни считали, что правильным будет назваться множеством чисел действительных, а другие — множеством чисел вещественных. Спорили, спорили и не смогли друг друга переубедить. Порешили взять себе двойное название, как люди берут двойную фамилию. С тех пор все числа, живущие в арифметическом теремке, каждый может назвать, как ему больше нравится: вещественными или действительными.

А вот с буквой для флажка разногласий не возникло. Всем понравилась буква R. С тех пор она стала гербом всех чисел.

Арифметический теремок обрёл своих постоянных жильцов. С ними вы ближе познакомитесь на уроках математики.

Правда, в домик ломилось ещё огромное множество комплексных чисел, размахивая знаменем с буквой C. Да только в арифметическом теремке места уже не было. С трудом уговорили действительные числа эту грозную армию не крушить их жилище, а построить себе рядом целый большой дворец. Но это уже совсем другая история…

 

pedsovet.org


Смотрите также